UC知道不等式的大小比较和证明->在线等,答完就给分~~!
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 08:32:14
1.设x，y都是正实数，a=x+y，b=x^(cosα的平方)*y^(sinα的平方),则a与b的大小关系是??
2.已知f（x）=x3+ax+b 定义在区间[－1, 1]上，且f（0）=f（1） ，又P（x1, y1），Q（x2, y2）是其图象上的任意两个点（x1≠x2）.
（1）求证：函数f（x）的图象是关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证: | k |＜2；
（3）若0≤x1＜x2≤1，求证: | y1－y2 |＜1
第二题只要解第三问就好了. 答案的第一步我就看不懂~!请解释~!
答案是∵0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2） (1)
又| y1-y2|=|f（x1）- f（x2）|
= f（x1）- f（0）+ f（1）- f（x2）|
≤f（x1）- f（0）|+| f（1）- f（x2）|
≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2 (2)
(1)+(2)得：
2|y1-y2|＜2，
∴|y1-y2|＜1
思路也可以的啊~~ 帮帮忙`~
2.已知f（x）=x3+ax+b 定义在区间[－1, 1]上，且f（0）=f（1） ，又P（x1, y1），Q（x2, y2）是其图象上的任意两个点（x1≠x2）.
（1）求证：函数f（x）的图象是关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证: | k |＜2；
（3）若0≤x1＜x2≤1，求证: | y1－y2 |＜1
第二题只要解第三问就好了. 答案的第一步我就看不懂~!请解释~!
答案是∵0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2） (1)
又| y1-y2|=|f（x1）- f（x2）|
= f（x1）- f（0）+ f（1）- f（x2）|
≤f（x1）- f（0）|+| f（1）- f（x2）|
≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2 (2)
(1)+(2)得：
2|y1-y2|＜2，
∴|y1-y2|＜1
思路也可以的啊~~ 帮帮忙`~
（1）
令u = (cosα)^2，则：(sinα)^2 = 1 - u，且0 <= u <= 1
于是 b = x^u * y^(1-u) = y * (x/y)^u
a - b = (x + y) - y * (x/y)^u
= y * (x/y + 1 - (x/y)^u)
令 z = x/y，则 z > 0
下面证明：x/y + 1 - (x/y)^u = z + 1 - z^u > 0
分2种情况：
1、若 z >= 1，因为0 <= u <= 1，所以：z^u <= z，z + 1 - z^u >= 1 > 0
2、若 0 < z < 1，因为0 <= u <= 1，所以：z^u <= 1，故z + 1 - z^u >= z > 0
所以：x/y + 1 - (x/y)^u > 0
所以：a - b = y * (x/y + 1 - (x/y)^u) > 0
即：a > b
（2）
前两个问不做了，但要利用第2个问的结论：|k| < 2
|k| = | ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) | = | y1 - y2 | / | x1 - x2 | < 2
所以：
| y1 - y2 | < 2 * | x1 - x2 |
而x1＜x2
所以：
| y1 - y2 | < -2 * ( x1 - x2 )
在你提供的解答中，(1)式直接利用了上面这个式子
(2)式中，| f(x1) - f(0) | <= 2 | x1 - 0 |
| f(1) - f(x2) | <= 2 | x2 - 1 |
也都是利用这个结论。